जब त्रिभुज की सभी भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो, तो उसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए Heron’s Formula का उपयोग होता है. इसे हीरो (Hero’s) का फॉर्मूला भी कहा जाता है. इस प्रक्रिया से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए त्रिभुज के कोणों की माप ज्ञात की आवश्यकता नहीं होती है. इस फार्मूला का प्रयोग ज्यादातर प्रतियोगिता एग्जाम और क्लास 9th में होता है.
यह गणित का सबसे महत्वपूर्ण एवं एडवांस फार्मूला है जिससे लगभग प्रत्येक विद्यार्थी परिचित है. लेकिन इसके सम्बन्ध में कुछ ऐसे तथ्य है जिसे समझना अत्यंत आवश्यक है. क्योंकि, ये तथ्य ऑब्जेक्टिव क्वेश्चन में अक्शर पूछे जाते है जो प्रतियोगिता एग्जाम के भी एक भाग है.
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हिरोन फार्मूला क्या है?
गणितीय ज्यामिति में हीरोन के सूत्र का प्रयोग त्रिभुज की तीनों भुजाएँ ज्ञात होने पर उसका क्षेत्रफल निकालने के लिए किया जाता है. उपयोग के अनुसार इसे “हीरो का सूत्र” भी कहते हैं. क्योंकि, इसका नाम हीरो ऑफ अलेक्जेंड्रिया पर पड़ा है, जो एक महान गणितज्ञ थे.
इन्होने तीनों भुजाओं की लंबाई का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए एक सूत्र प्रतिपादित किया, जो Heron’s Formula या हीरो के सूत्र के नाम से प्रसिद्ध हुआ.
इस फार्मूला का प्रयोग त्रिभुज के साथ-साथ चतुर्भुज, बहुभुज, त्रिकोणमिति आदि जैसे क्षेत्रों में किया जाता है. Heron’s Formula का प्रयोग करने में त्रिभुज या चतुर्भुज की कोण ज्ञात करने की आवश्यकता नही होता है. ये फार्मूला केवल भुजाओं की लम्बाई पर कार्य करता है.
हीरों का फार्मूला | Hero’s Formula in Hindi
हिरोन का सूत्र का प्रयोग तभी संभव होता है जब त्रिभुज के तीनों भुजाओं की लम्बाई ज्ञात हो. ऐसे स्थिति में फार्मूला का रूप इस प्रकार होता है.
A = √[ s ( s – a ) ( s – b ) ( s – c ) ]
जहाँ s अर्द्ध परिमाप है = (a + b + c) / 2
और a, b, एवं c त्रिभुज तीनों भुजाओं की लम्बाई है.
Note:-
विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हीरोन के सूत्र का प्रयोग किया जाता है.
सामान्य रूप से त्रिभुज के मूल रूप का भी प्रयोग क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए होता है.
हिरोन फार्मूला के सम्बन्ध में तथ्य
- यदि a, b और c त्रिभुज की तीन भुजाएँ हो, तो अर्द्धपरिमाप, s = (a + b + c)/2 होता है.
- हीरो ऑफ अलेक्जेंड्रिया के नाम पर Heron’s formula का नाम पड़ा
- चतुर्भुजों का क्षेत्रफल निकालने करने में भी हीरोन के सूत्र का प्रयोग किया जा सकता है.
- हीरोन का सूत्र चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए ब्रह्मगुप्त के सूत्र की एक विशेष परिमाण है.
हिरोन फॉर्मूला सम्बंधित उदहारण
Q. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल निकलने, यदि तीनों भुजाएँ क्रमशः 4, 6 और 8 cm हो.
Solution: दिया है, त्रिभुज के तीनों भुजाएँ a = 4 cm, b = 6 cm और c = 8
इसलिए, अर्द्धपरिमाप = (a + b + c) / 2
=> S = ( 4 + 6 + 8 ) / 2 = 9
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल = √[ s ( s – a ) ( s – b ) ( s – c ) ]
=> √ [(9 ( 9 – 4 ) ( 9 – 6 ) ( 9 – 8 )]
=> √ [(9 ( 5 ) ( 3 ) ( 1 )] = √135 cm², अर्थात A = 3√15 cm²
Q. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 8 cm और 11 cm है और जिसका परिमाप 32 cm है.
Solution: दिया है, परिमाप = 32 cm, a = 8 cm और b = 11
इसीलिए, तीसरी भुजा = 32 – (8 + 11) = 13 cm
अर्ध परिमाप = 32 / 2 = 16
अतः त्रिभुज के क्षेत्रफल = √[ s ( s – a ) ( s – b ) ( s – c ) ]
=> √ [(16 ( 16 – 8 ) ( 16 – 11 ) ( 16 – 13 )]
= √ [(9 ( 7 ) ( 5 ) ( 3 )] = √1680 cm²
अतः क्षेत्रफल = 8 √ 30 cm² ans
Heron’s Formula से सम्बंधित सभी आवश्यक तथ्य एवं उदाहरण यहाँ उपलब्ध है. ये फार्मूला और प्रश्न पर बेहतर पकड़ बनाने में मदद करते है. यदि इस चैप्टर को थोड़ा और गहराई से पढ़ा जाए, तो ये सभी confusion को सरलता से दूर कर सकता है. लेकिन यहाँ यह पर्याप्त है. इस चैप्टर से अगर कोई भी संदेह अभी शेष हो, तो कृपया हमें कमेंट करे.
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अक्शर पूछे जाने वाले प्रश्न FAQs
ज्यामिति में हीरोन का सूत्र त्रिभुज की तीनों भुजाओं का मान ज्ञात होने पर उसका क्षेत्रफल निकालने का एक विशेष फार्मूला है. इस सूत्र का यह नाम अलेक्ज़ैंड्रिया के हीरोन के नाम पर पड़ा है. इसलिए, इसे हीरो का सूत्र भी कहा जाता है.
हिरोन यानि हीरो के फार्मूला से क्षेत्रफल निकालने का सूत्र इस प्रकार है:
अर्ध परिमाप s = (a+b+c)/2.
त्रिभुज का क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
